Тема: Задача на кількісну оцінку ризику з визначенням математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення і коефіцієнта варіації

1. Слово „ розбудова” складене з літер, записаних на різних картках. Навмання беруть 4 картки і складають їх у порядку їхньої появи. Яка ймовірність того, що при цьому з’явиться слово: а) „вода”; б) „удар”. 2. Два стрільці по черзі по одному разу стріляють по мішені. Ймовірність влучити для першого стрільця дорівнює р1, для другого – р2. Виграє той, хто влучить першим. Знайти ймовірність того, що: а) виграє перший стрілець; б) виграє другий стрілець; в) ніхто з них не виграє. 3. Випадкову величину Х задано інтегральною функцією F(Х). Потрібно: - визначити сталу С; - знайти диференціальну функцію f(х); - обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Х; - побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій. 4. Задано математичне сподівання М[Х]=m та середнє квадратичне відхилення  =(D[Х])0,5 випадкової величини Х з нормальним розподілом. Знайти ймовірність того, що: - Х набуде значення , яке належить інтервалу (а; b); - абсолютна величина відхилення Х(m) буде меншою за  . m = 7,  = 3, а = 3, b = 11,  = 8. 5. Значення з нормальним розподілом випадкової величини Х задано в таблиці . Потрібно: - знайти оцінки її математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратного відхилення; - побудувати гістограму та полігон розподілу; - оцінити довірчий інтервал, який з надійністю  = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х. 1,62 1,73 2,68 1,42 3,04 1,13 2,98 2,37 0,31 1,61 1,9 2,27 2,53 1,05 2,31 1,15 1,31 1,89 1,96 1,8 0,67 1,74 2,05 2,27 2,42 1,01 1,86 1,61 3,62 2,36 0,96 1,65 3,23 2,29 3,67 2,96 0,67 1,86 3,04 0,96

1. Варіація ознак. Необхідність і завдання статистичного вивчення варіації. 3 2. Розмах варіації та середнє лінійне відхилення. Формули. Техніка обчислення. Економічний зміст. 4 3. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Формули. Техніка обчислення. Економічний зміст. 4 4. Коефіцієнт варіації. Формули. Випадки застосування. Техніка обчислення. Економічний зміст. 6 5. Обчислення середнього квадратичного відхилення спрощеним способом. Формули і робоча таблиця для розрахунків. Техніка обчислення. 6 Література 10

№1. У трьох бібліотеках є книжки з економіки та математики. У першій бібліотеці є 8 книжок з економіки і 5 з математики, в другій – відповідно 6 і 9, в третій - відповідно 7 і 8. Студент замовив у бібліотеках 6 книжок. Яка ймовірність того, що серед замовлених книжок будуть: а) 4 книжки з економіки та 2 з математики; б) 2 книжки з економіки із першої бібліотеці, і одна – з третій? №2. У трьох ящиках міститься по 10 деталей. Серед деталей першого ящика є 3 нестандартні деталі , серед другого – 5, а серед деталей третього їх 7. Навмання взяту деталь у першому ящику перекладають у третій ящик. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь у третьому ящику виявиться стандартною. №3. Випадкову величину Х задано інтегральною функцією F(Х). Потрібно: - визначити сталу С; - знайти диференціальну функцію f(х); - обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Х; - побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій. №4. Значення з нормальним розподілом випадкової величини Х задано в таблиці . Потрібно: - знайти оцінки її математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратного відхилення; - побудувати гістограму та полігон розподілу; - оцінити довірчий інтервал, який з надійністю  = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х. 0,46 1,39 -0,47 -0,63 -0,19 -0,07 2,94 -1,85 0,78 -1,19 0,06 0,13 -0,55 1,28 0,69 0,54 0,29 1,97 0,19 -0,96 1,48 -2,26 2,45 0,05 3,48 0,92 -1,55 -0,29 -0,26 1,19 1,02 -0,35 -0,53 -0,32 0,32 0,57 1,37 0,19 1,29 0,47

Завдання 1 3 Відомо, що при вкладанні капіталу в захід А із 5320 випадків прибуток А1 було отримано 2690 разів, прибуток А2 - 850, а прибуток A3 — 1780 разів, а при вкладанні капіталу в захід Б із 2470 випадків прибуток Б1 було отримано 400 разів, прибуток Б2 - 770 і прибуток БЗ - 1300 рази. Визначити варіант вкладання капіталу за допомогою показників математичного сподівання, дисперсії, середньоквадратичного відхи¬лення і коефіцієнта варіації. Варіант визначається за двома цифрами із табл.1: перша — для визначення прибутків при вкладанні капіталу в захід А, друга - в захід Б. Завдання 2 5 Маємо два інвестиційні проекти. Норма прибутку за кожним із них залежить від економічної ситуації. На ринку можливі два варіанти економічної ситуації: ситуація А з ймовірністю 0,3 і ситуація Б - 0,7. Різні проекти неоднаково реагують на різні економічні ситуації: прибуток першого проекту за обставин А зростає на 2,6 %, за обставин Б — на 1,5 %; прибуток другого проекту за обставин А зменшується на 2,0 %, за обставин Б зростає на 3,5 %. Для інвестиційних проектів інвестор бере позику під 2,5%. Дати оцінку проектів за математичним сподіванням прибутку. Який інвестиційний проект потрібно провести з погляду ризику банкрутства. Дати пояснення. Варіант визначається за табл.2. а1=2,6, а2 = 1,5, а3=2,0, а4 = 3,5 Завдання 3 7 Підприємство повинно налагодити виробництво певного виду продукції для задоволення потреб споживача протягом визначеного часу. Конкретна кількість споживачів невідома, але очікується, що вона може становити одне із п'яти значень - S1,S2, S3, S4 і S5. Для кожного з цих значень існує п'ять альтернативних варіантів рішень - А1, А2, А3, А4 іА5. Для кожного із можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду можливих прибутків (табл.3). Відхилення від цих альтерна¬тив призводить до зменшення прибутків через підвищення пропозицій над попитом або неповного задоволення попиту. Розмір прибутків у грн розраховується за табл. З і варіантами табл. 4. Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутків за критеріями Байєса за умов, що ймовірності виникнення попиту відповідно становитимуть 0,1; 0,2; 0,3; 0,25; 0,15, а також за критеріями Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності і Гурвіца - із коефіцієнтом оптимізму 0,6. Варіант задається за двома цифрами із табл. 4: перша - варіант визначення показників б1, б2, б3, а друга - показників с1, с2, с3. б1=2, б2=3, б3=0, с1=2, с2=2, с3=1. Таблиця 3. Прибутки за альтернативними рішеннями Альтернативне рішення Кількість споживачів S1 S2 S3 S4 S5 А1 5+б1 5+б2 2+б3 15+с3 19+с1 А2 10+б2 18+с2 16+б1 10+б3 22+б1 A3 7+б3 2+б3 14+с1 12+с1 8+с3 А4 10+с3 20+с1 10+б2 3+б2 5+с2 А5 12+с2 4+с3 5+с2 9+с2 15+б3 Ймовірності виникнення попиту Завдання 4 12 Виробник звернувся у відділ маркетингу для з'ясування сподіва¬ного попиту на товар. Дослідження відділу маркетингу показали: ймовірність того, що попит становитиме 1000 од. товару — 0,1; 3000 — 0,5; 5000 - 0,25; 8000 - 0,15. Відхилення від цих рівнів призводить до до¬даткових витрат або через перевищення пропозиції над попитом становить 2 грн, або через неповне задоволення попиту - 1 грн за одиницю. Доход від виробництва - 12 грн за одиницю. Для прийняття рішення виробнику потрібно врахувати думку директора з маркетингу і фінансового директора щодо їх корисності різних сум доходів (табл. 5). Директора з маркетингу Фінансового директора 0 10 40 70 100 0 10 40 70 100 0 7 14 35 100 0 45 72 92 100 Потрібно: визначити, скільки потрібно виробити продукції за допомогою критерію сподіваного доходу; побудувати два графіки ко¬рисності і визначити за ними відношення до ризику обох директорів; визначити корисність доходів для кожного директора і скільки одиниць продукції потрібно випустити з погляду кожного директора за правилом сподіваної корисності. Завдання 5 16 Для компанії, яка впроваджує новий проект, відомі такі показ¬ники: чутливість компанії до ринку до впровадження нового проекту - Р; безризикова ставка - krf; середня доходність ринку - km; чутливість до ринку нового проекту — βн. Потрібно розрахувати необхідну доходність нового проекту, якщо 80 % капіталу вкладається в існуючі проекти компанії і 20 % - у новий проект. За розрахованими даними побудувати лінію надійності ринку цінних паперів. Варіант визначається за двома цифрами із табл.6: перша — для визначення β=1,4 і βн=1,6, а друга – krf=14 і km=19. Література 18

1. Якісний аналіз ризиків 3 2. Методи кількісного аналізу ризиків 4 Задача 1 13 Адміністрація театру вирішує, скільки потрібно замовити програмок для вистав. Вартість замовлення 200 грн. плюс 0,3 грн. за штуку. Програмки продаються за 0,6 грн. за штуку, і до того ж дохід від реклами складає додатково 300 грн. Із минулого досвіду відоме відвідування театру: Відвідування, чол. 4 000 4 500 5 000 5 500 6 000 Ймовірність 0,1 0,3 0,3 0,2 0,1 Очікується, що 40% відвідувачів купують програмки. Потрібно побудувати платіжну матрицю доходів і визначити, скільки програмок необхідно замовити театру за допомогою таких критеріїв, як: математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації. Зробіть висновок щодо кількості програмок, використовуючи критерії Байєса, Вальда, Лапласа, Севіджа і Гурвіца. Якщо людина, яка приймає рішення про випуск продукції має таку шкалу корисностей доходів, то який варіант вона обере? Розрахуйте її премію за ризик. Корисність доходу 0 10 20 35 60 100 Доход, грн. 400 500 600 700 800 900 Задача 2 15 Інвестиційна компанія, що має рівень систематичного ризику - 1,4, бажає впровадити в дію новий інвестиційний проект, рівень систематичного ризику якого - 1,75. Планується, що новий інвестиційний проект у загальній структурі капіталу компанії займе 20%. Безризикова ставка - 9%, середня доходність ринку - 19%. Потрібно визначити якою повинна бути сподівана доходність цієї компанії до і після впровадження нового проекту, якою повинна бути необхідна доходність нового інвестиційного проекту? Побудуйте лінію надійності ринку компанії, про що вона говорить? Список використаних джерел 17