Тема: Задачі з вищої математики

Задачі з вищої математики

Завдання 1
Систему рівнянь записати в матричній формі та розв'язати методом оберненої матриці та методом Гаусса.

Розв’язання: Матриця системи: ,
Отже, система рівнянь в матричній формі має вигляд:
Мето¬д оберненої матриці .
Тоді . Знаходимо :



Обернена матриця матиме такий вигляд:


Відповідь:
Метод Гаусса. Розширена матриця системи:

Відповідь:
Завдання 2
Показати, що перші три вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор за цим базисом (при розв'язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера).
= (2,4,2), = (–l, –3,3), = (–1,2,0), = (–5,1, –15).
Розв’язання: Розв’язання: для того, щоб вектори , , утворювали базис, необхідно щоб . Тоді, система:

повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Отже, вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору.
Тоді вектор є їх лінійною комбінацією:
Числа будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх:
.

Тоді
Отримали вектор у базисі , , .

Завдання 3
Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.
A(-2;0), B(-3;2), С(1;-1).
Розв’язання: 1) рівняння АВ:

рівняння АС:

рівняння ВС:

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK кутовий коефіцієнт висоти . Шукане рівняння висоти АК:

3)

4) Знайдемо точку К перетину висоти АК и прямої ВС:

Маємо:
Завдання 4
Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):
а) ; б) ; в)
Розв’язання:
а)
б)
в)
Завдання 5
Знайти похідну функції:
Розв’язання:
Завдання 6
Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:
1) знайти область визначення й область зміни функції;
2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;
3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;
4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину,
5) знайти асимптоти графіка функції.

Розв’язання: 1. О.О.Ф.
2. Нулі функції:
3. Точки перетину графіка с віссю Оу: (0, 0).
4. Функція загального виду.
5. Знайдемо асимптоти графіка функції.
а) вертикальні асимптоти
б) похилі асимптоти де


горизонтальна асимптота.
6. Знайдемо інтервали монотонності та критичні точки функції.
,
при функція спадає при О.О.Ф.
Точок екстремуму не існує.
7.
при ;
при при графік опуклий − вверх;
Отже, при графік опуклий − вверх, при графік опуклий − вниз.
Точка перетину
8. Побудуємо графік функції:

Завдання 7
Знайти невизначені інтеграли:
а) б)
Розв’язання:
а)
б)

Завдання 8
Застосувати визначений інтеграл для обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями:
Розв’язання: Знайдемо точки перетину даних ліній:

Шукана площина



Завдання 9
Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:

Розв’язання:
Завдання 10
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку й розв'язок задачі Коші для лінійного диференціального рів¬няння другого порядку.
а) б) ,
Розв’язання:
а)

.
б) Складемо характеристичне рівняння відповідного однорідного диференціального рівняння:

Тоді загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
.
Тепер знаходимо частинне рішення відповідного неоднорідного рівняння. Так як права частина де и – не корінь характеристичного рівняння, отже .
Підставимо в вихідне рівняння:


Таким чином
Загальне рішення вихідного рівняння має вигляд:



Таким чином, рішенням задачі Коші є

Відповідь:
Завдання 11
Написати перші три члени степеневого ряду і знайти його об¬ласть збіжності.
Розв’язання. Знайдемо область збіжності.
Радіус збіжності:

інтервал збіжності (–1; 1). Дослідимо ряд на кінцях цього інтервалу.
При х = –1: знакозмінній ряд. Перевіримо його збіжність признакою Лейбница:
1) 2) ряд збіжній.
При х = 5: ряд збіжній.
Відповідь: область збіжності [–5; 5].