Тема: Контрольна з курсу "Теорія ймовірності та математична статистика"

Контрольна з курсу "Теорія ймовірності та математична статистика"

ТИТУЛ




КОНТРОЛЬНА РОБОТА
з дисципліни "Теорія ймовірності та математична статистика"









Зміст

Завдання 1 4
Завдання 2 4
Завдання 3 5
Завдання 4 6
Завдання 5 7
Завдання 6 9
Завдання 7 15
Список використаної літератури 18




ЗАВДАННЯ 1
В ящику 30 куль: 14 зелених і 16 чорних. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того що ця куля:
а) зелена, б) чорна.
Розв’язання
а) Позначимо за подію А ={вибрана куля - зелена}
Тоді за означенням класичної імовірності імовірність події А дорівнюватиме відношенню кількості сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих подій - 14 (тому, що 14 зелених куль в ящику) , загальна кількість можливих - 30 (тому, що загальна кількість кульок - 30).
Р(А)= ;
б) Позначимо за подію Б ={вибрана куля чорна}
Тоді за означенням класичної імовірності імовірність події Б дорівнюватиме відношенню кількості сприятливих подій до загальної кількості можливих подій. Кількість сприятливих подій - 16 (тому, що 16 зелених куль в ящику) , загальна кількість можливих - 30 (тому, що загальна кількість кульок - 30).
Р(Б)= ;
Відповідь: Р(А)=14/30; Р(Б)=16/30; Р(В)=2/13.
ЗАВДАННЯ 2
Ймовірність несплати податку для кожного n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не меш m1 і не більш m2 підприємців.
n=400; p = 0,2; m1 =80; m2 =200.
Розв’язання
Для знаходження ймовірності застосуємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа. Визначимо х1 та х2.
При p = 0,2 маємо q=1-0.2=0.8


За таблицею знаходимо:
Ф(0)=0
Ф(15)=0,5
= Ф(15)-Ф(0)= 0,5+0=0,5
Відповідь: =0,5
ЗАВДАННЯ 3
Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини.
а) математичне сподівання М(Х);
б) дисперсію D(X);
в) середнє квадратичне відхилення σх.
Х 5 10 15 20 25
Р 0,01 0,35 0,44 0,13 0,07

Розв’язання
Перевіримо
Знайдемо математичне сподівання :

=5*0,01+10*0,35+15*0,44+20*0,13+25*0,07=14,5
Для обчислення дисперсії знайдемо
=
=5*5*0,01+10*10*0,35+15*15*0,44+20*20*0,13+25*25*0,07=230
Отже дисперсія:
D(X)=М(Х2)-М2(Х)=230-(14,50*14,5)2=230-210,25=19,75
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х

Відповідь: М(Х)= 14,5
D(X) = 19,75
σх=4,444.
ЗАВДАННЯ 4
Знаючи, що випадкова величина задається біноміальним законом розподілу з параметрами n,p. Записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:
n=5, p=0.1
а) математичне сподівання М(Х);
б) дисперсію D(X);
в) середнє квадратичне відхилення σх.
Розв’язання
Біноміальний закон розподілу - це розподіл випадкової величини, яка набуває значень і=0,1,2,3,4,5 з ймовірностями

Знайдемо ймовірності за умови, що p = 0,1 маємо q=1-0,1=0,9:







Перевіримо
Х 0 1 2 3 4 5
Р 0,59049 0,32805 0,0729 0,0081 0,00045 0,00001

Знайдемо математичне сподівання :

=0*0,59049+1*0,32805+2*0,0729+3*0,0081+4*0,00045+5*0,00001=0,5
Для обчислення дисперсії знайдемо
=
=1*0,32805+2*2*0,0729+3*3*0,0081+4*4*0,00045+5*5*0,00001=0,7
Отже дисперсія:
D(X)=М(Х2)-М2(Х)=0,7 -(0,5)2=0,7-0,25=0,45
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х

Відповідь: М(Х)= 0,5;
D(X) = 0,7;
σх=0,6708.
ЗАВДАННЯ 5
Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М(Х)=а і проходить через задані точки.
а) а=3
х 1 2 4 5
f(x) 0,05 0,24 0,24 0,05

е) а=-1
х -7 -4 2 5
f(x) 0,018 0,081 0,081 0,018
Розв’язання
а) а=3
Функція щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М(Х)=а має вигляд: .
=>
=>
Прирівнявши отримаємо:

; ;


Значення математичного сподівання а =3, зобразимо графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х за заданими точками.


г) а=-1
Значення математичного сподівання а =-1, зобразимо графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х за заданими точками.

ЗАВДАННЯ 6
Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тис грн):
Скласти варіаційний ряд вибірки.
Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.
Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію варіаційного ряду: .
21, 19, 17, 23, 18, 22, 25, 20, 19, 18, 24, 21, 23, 17, 24, 25, 19, 20, 18, 22.
Розв’язання
Скласти варіаційний ряд вибірки.
Оскільки вибірка складається з 20 значень, то обсяг вибірки n=20.
Побудуємо варіаційний ряд вибірки:
17, 17, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25.
2. Побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів.
У даній вибірці 9 різних варіант, запишемо їх частоти у вигляді статистичного розподілу:
Таблиця 1
хі 17 18 19 20 21 22 23 24 25
nі 2 3 3 2 2 2 2 2 2

Для побудови гістограми та полігону побудуємо інтервальний статистичний розподіл.
Виберемо S= 5 інтервалів, а довжину інтервалу обчислимо за формулою

Тобто

Складемо шкалу інтервалів. За початок першого інтервалу візьмемо
Варіанти, які співпадають із межами інтервалів, будемо включати в наступний інтервал, крім останнього.
Таблиця 2
Номер інтервалу,
і Межі інтервалів Середина інтервалу,

Частота,
ni
Хі Хі+1
1 17 18,6 17,8 5
2 18,6 20,2 19,4 5
3 20,2 21,8 21 2
4 21,8 23,4 22,6 4
5 23,4 25 24,2 4
20

Побудуємо гістограму частот. Для цього на осі ОХ нанесемо інтервали, а на ОУ щільності частот для кожного інтервалу.
Рис.1

Полігон розподілу частот.
Для побудови цього графіка відкладається крапка на висоті, відповідній частоті кожної варіанти. За варіанту приймемо середини інтервалів. Після цього крапки сполучаються відрізками прямих.
Рис.2

3. Обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду: .
Визначимо значення емпіричних показників .
Статистичний розподіл вибірки встановлює зв‘язок між рядом варіант, що зростає або спадає, і відповідними частотами. Він може бути представлений таблицею розподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти середини інтервалів хі.
Таблиця 3
Номер інтервалу, і Середина інтервалу,
Частота, ni

1 17,8 5
2 19,4 5
3 21 2
4 22,6 4
5 24,2 4
Для обчислень перейдемо від одержаного інтервального розподілу до розподілу рівновіддалених варіант, прийнявши за варіанти середини інтервалів хі із Табл. 3.
Знайдемо вибіркову середню , дисперсію, вибіркове середньоквадратичне відхилення за методом добутку. Для цього обчислимо Таблицю 4.
Запишемо
варіанти хі* в перший стовпчик;
відповідні варіантам частоти, в другий стовпчик;
за уявний нуль виберемо варіанту, яка має найбільшу частоту, тобто С= 19,4;
одержані умовні варіанти запишемо в третій стовпчик;
добутки niui, niui2 та ni (ui+1)2 запишемо в наступні стовпчики.
Таблиця 4

ni ui



17,8 5 0 0 0 5
19,4 5 0 0 0 5
21 2 1 2 2 8
22,6 4 2 8 16 36
24,2 4 3 12 36 64

n=20 22 54 118

Контроль проведемо за формулою
Маємо: 54+2*22+20=118
118=118
Обчислимо умовні моменти розподілу від першого до четвертого порядків включно:
Маємо:


Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментів розподілу
1,1*1,6+19,4=21,2
= =8,3635

Медіанним частинним інтервалом буде третій інтервал, оскільки це перший інтервал, для якого сума частот усіх попередніх частинних інтервалів з даним включно перевищує половину обсягу вибірки:
5+5+2=12
Для визначення моди інтервального статистичного розподілу необхідно знайти модальний інтервал, тобто такий частинний інтервал, що має найбільшу частоту появи.
Модальним частинним інтервалом буде 2 інтервал.
=20,2 =18,6
= 2 = 5
= 1,6 = 1,6
Ме -1=1 = 5
= 2

Використовуючи лінійну інтерполяцію, моду обчислимо за формулою:


Відповідь: 21,2; 8,3635;
ЗАВДАННЯ 7
Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки.
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1
Розв’язання
Розіб‘ємо інтервал [1;37] на такі шість частинних інтервалів довжиною h=6:
хі 1 5 7 9 14 18 23 34 37
mі 1 2 3 7 12 24 14 1 1

[1;7), [7;13), [13;19), [19;25), [25;31), [31;37].
новими варіантами будуть середини інтервалів:
х1=(1+7)/2=4;
х2=(7+13)/2=10;
х3=(13+19)/2=16;
х4=(19+25)/2=22;
х5=(25+31)/2=28;
х6=(31+37)/2=34.
Як частоти ni варіант хі візьмемо суму частот варіант, які потрапили у відповідний і-тий інтервал. Запишемо такий статистичний розподіл рівновіддалених варіант:
хі 4 10 16 22 28 34
ni 3 10 36 14 0 2
Спочатку знайдемо вибіркове середнє , дисперсію, вибіркове середньоквадратичне відхилення . За уявний нуль виберемо варіанту, яка має найбільшу частоту, тобто С= 16.
Таблиця

ni ui


4 3 -2 -6 12
10 10 -1 -10 10
16 36 0 0 0
22 14 1 14 14
28 0 2 0 0
34 2 3 6 18

n=65 4 54
Обчислимо умовні моменти розподілу:
Маємо:


Визначимо числові характеристики за допомогою умовних моментів розподілу
0,061*6+16=16,366
= =29,77

Перевіримо гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності Х. Для цього необхідно знайти теоретичні частоти, ураховуючи, що n=65, h=6 за формулою:

Складемо розрахункову Таблицю значень диференціальної функції Лапласа.
В перший стовпчик якої запишемо номер інтервалу;
В другий - варіанти, третій обчислимо за формулою . В четвертий стовпчик запишемо відповідні значення функцій Лапласа, які візьмемо із значень таблиці φ(u).

В п‘ятий стовпчик запишемо обчислені теоретичні частоти
Таблиця
і



φ(uі)

1 4 -2,26 0,031 2,21
2 10 -1,17 0,2012 14,37
3 16 -0,067 0,3187 22,76
4 22 1,032 0,2347 16,76
5 28 2,13 0,0422 3,01
6 34 3,23 0,0022 0,16
Використавши критерій Пірсона зробимо висновок про можливість розподілу величин Х згідно з нормальним законом.
Складемо розрахункову Таблицю у вигляді
Таблиця
і





1 3 2,21 0,79 0,6241 0,2823
2 10 14,37 -4,37 19,1 1,33
3 36 22,76 13,24 175,3 7,7
4 14 16,76 -2,76 7,6176 0,4545
5 0 3,01 -3,01 9,0601 3,01
6 2 0,16 1,84 3,3856 21,16
∑ 33,9368

З таблиці додатку для критичних точок розподілу Х2 , числу вільних степенів і рівнем значущості а, заходимо критичні точки. Значення критичних точок при різних α менше, ніж спостережене значення.
Так як , то є підстави відкидати гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності ознаки Х, тобто емпіричні і теоретичні частоти відрізняються суттєво, а це якраз і свідчить, що дані вибірки не співпадають з гіпотезою про нормальний розподіл генеральної сукупності.